笑说亦

　　今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共出百钱。欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？答曰：大夫出八钱一百三十七分钱之一百四；不更出一十钱一百三十七分钱之一百三十；簪袅出一十四钱一百三十七分钱之八十二；上造出二十一钱一百三十七分钱之一百二十三；公士出四十三钱一百三十七分钱之一百九。
　　术曰：置爵数，各自为衰，而反衰之。副并为法。以百钱乘未并者，各自为实。实如法得一钱。
　　〔以爵次言之，大夫五、不更四。欲令高爵得多者，当使大夫一人受五分，不更一人受四分。人数为母，分数为子。母同则子齐，齐即衰也。故上衰分宜以五、四为列焉。今此令高爵出少，则当大夫五人共出一人分，不更四人共出一人分，故谓之反衰。人数不同，则分数不齐。当令母互乘子。母互乘子，则动者为不动者衰也。亦可先同其母，各以分母约，其子为反衰。副并为法。以所分乘未并者，各自为实。实如法而一。〕今有甲持粟三升，乙持粝米三升，丙持粝饭三升。欲令合而分之，问各几何？答曰：甲二升一十分升之七；乙四升一十分升之五；丙一升一十分升之八。
　　术曰：以粟率五十、粝米率三十、粝饭率七十五为衰，而反衰之。副并为法。
　　以九升乘未并者，各自为实。实如法得一升。
　　〔按：此术，三人所持升数虽等，论其本率，精粗不同。米率虽少，令最得多；饭率虽多，反使得少。故令反之，使精得多而粗得少。于今有术，副并为所 有率，未并者各为所求率，九升为所有数，而今有之，即得。〕今有丝一斤，价直二百四十。今有钱一千三百二十八，问得丝几何？答曰：五斤八两一十二铢五分铢之四。
　　术曰：以一斤价数为法，以一斤乘今有钱数为实。实如法得丝数。
　　〔按：此术今有之义，以一斤价为所有率，一斤为所求率，今有钱为所有数，而今有之，即得。〕今有丝一斤，价直三百四十五。今有丝七两一十二铢，问得钱几何？答曰：一百六十一钱三十二分钱之二十三。
　　术曰：以一斤铢数为法，以一斤价数乘七两一十二铢为实。实如法得钱数。
　　〔淳风等按：此术亦今有之义。以丝一斤铢数为所有率，价钱为所求率，今 有丝为所有数，而今有之，即得。〕今有缣一丈，价直一百二十八。今有缣一匹九尺五寸，问得钱几何？答曰：六百三十三钱五分钱之三。
　　术曰：以一丈寸数为法，以价钱数乘今有缣寸数为实。实如法得钱数。
　　〔淳风等按：此术亦今有之义。以缣一丈寸数为所有率，价钱为所求率，今 有缣寸数为所有数，而今有之，即得。〕今有布一匹，价直一百二十五。今有布二丈七尺，问得钱几何？答曰：八十 四钱八分钱之三。
　　术曰：以一匹尺数为法，今有布尺数乘价钱为实。实如法得钱数。
　　〔淳风等按：此术亦今有之义。以一匹尺数为所有率，价钱为所求率，今有布为所有数，今有之，即得。〕今有素一匹一丈，价直六百二十五。今有钱五百，问得素几何？答曰：得素一匹。
　　术曰：以价直为法，以一匹一丈尺数乘今有钱数为实。实如法得素数。
　　〔淳风等按：此术亦今有之义。以价钱为所有率，五丈尺数为所求率，今有钱为所有数，今有之，即得。〕今有与人丝一十四斤，约得缣一十斤。今与人丝四十五斤八两，问得缣几何？答曰：三十二斤八两。
　　术曰：以一十四斤两数为法，以一十斤乘今有丝两数为实。实如法得缣数。
　　〔淳风等按：此术亦今有之义。以一十四斤两数为所有率，一十斤为所求率，今有丝为所有数，而今有之，即得。〕今有丝一斤，耗七两。今有丝二十三斤五两，问耗几何？答曰：一百六十三两四铢半。
　　术曰：以一斤展十六两为法。以七两乘今有丝两数为实。实如法得耗数。
　　〔淳风等按：此术亦今有之义。以一斤为十六两为所有率，七两为所求率，今有丝为所有数，而今有之，即得。〕今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两。今有干丝一十二斤，问生丝几何？答曰：一十三斤一十一两十铢七分铢之二。
　　术曰：置生丝两数，除耗数，余，以为法。
　　〔馀四百二十两，即干丝率。〕三十斤乘干丝两数为实。实如法得生丝数。
　　〔凡所得率，如细则俱细，粗则俱粗，两数相抱而已。故品物不同，如上缣、 丝之比，相与率焉。三十斤凡四百八十两，今生丝率四百八十两，今干丝率四百二十两，则其数相通。可俱为铢，可俱为两，可俱为斤，，无所归滞也。若然，宜以所有干丝斤数乘生丝两数为实。今以斤、两错互而亦同归者，使干丝以两数为率，生丝以斤数为率，譬之异类，亦各有一定之势。
　　淳风等按：此术，置生丝两数，除耗数，余即干丝之率，于今有术为所有率；三十斤为所求率，干丝两数为所有数。凡所为率者，细则俱细，粗则俱粗。今有一斤乘两知，干丝即以两数为率，生丝即以斤数为率，譬之异物，各有一定之率也。〕今有田一亩，收粟六升太半升。今有田一顷二十六亩一百五十九步，问收粟几何？答曰：八斛四斗四升一十二分升之五。
　　术曰：以亩二百四十步为法。以六升太半升乘今有田积步为实。实如法得粟数。
　　〔淳风等按：此术亦今有之义。以一亩步数为所有率，六升太半升为所求率，今有田积步为所有数，而今有之，即得。〕今有取保，一岁价钱二千五百。今先取一千二百，问当作日几何？答曰：一 百六十九日二十五分日之二十三。
　　术曰：以价钱为法，以一岁三百五十四日乘先取钱数为实。实如法得日数。
　　〔淳风等按：此术亦今有之义。以价为所有率，一岁日数为所求率，取钱为所有数，而今有之，即得。〕今有贷人千钱，月息三十。今有贷人七百五十钱，九日归之，问息几何？答 曰：六钱四分钱之三。
　　术曰：以月三十日乘千钱为法。
　　〔以三十日乘千钱为法者，得三万，是为贷人钱三万，一日息三十也。〕以息三十乘今所贷钱数，又以九日乘之，为实。实如法得一钱。
　　〔以九日乘今所贷钱为今一日所有钱，于今有术为所有数，息三十为所求率；三万钱为所有率。此又可以一月三十日约息三十钱，为十分一日，以乘今一日所 有钱为实；千钱为法。为率者，当等之于一也。故三十日或可乘本，或可约息，皆所以等之也。〕
　　〔亦谓立方之尺也。〕问为立圆径几何？答曰：二十尺。
　　〔依密率，立圆径二十尺，计积四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？答曰：一万四千三百尺。
　　〔依密率，为径一万四千六百四十三尺四分尺之三。〕开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得，开立方除之，即立 圆径。
　　〔立圆，即丸也。为术者，盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三，圆囷居立方亦四分之三。更令圆囷为方率十二，为丸率九，丸居圆囷又四分之三也。
　　置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也。故以十六乘积，九而一，得立方之积。丸径与立方等，故开立方而除，得径也。然此意非也。何以验之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横因之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似陽马，圆然也。按：合盖者，方率也，丸居其中，即圆率也。推此言之，谓夫圆囷为方率，岂不阙哉？以周三径一为圆率，则圆幂伤少；令圆囷为方率，则丸积伤多，互相通补，是以九与十六之率偶与实相近，而丸犹伤多耳。观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。
　　黄金方寸，重十六两；金丸径寸，重九两，率生于此，未曾验也。《周官·考工记》：“朅氏为量，改煎金锡则不耗，不耗然后权之，权之然后准之，准之 然后量之。”言炼金使极精，而后分之则可以为率也。令丸径自乘，三而一，开 方除之，即丸中之立方也。假令丸中立方五尺，五尺为句，句自乘幂二十五尺。
　　倍之得五十尺，以为弦幂，谓平面方五尺之弦也。以此弦为股，亦以五尺为句，并句股幂得七十五尺，是为大弦幂。开方除之，则大弦可知也。大弦则中立方之 长邪，邪即丸径。故中立方自乘之幂于丸径自乘之幂，三分之一也。今大弦还乘其幂，即丸外立方之积也。大弦幂开之不尽，令其幂七十五再自乘之，为面，命得外立方积，四十二万一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘，又以方乘之，得积一百二十五尺，一百二十五尺自乘，为面，命得积，一万五千六百二十 五尺之面。皆以六百二十五约之，外立方积，六百七十五尺之面，中立方积，二十五尺之面也。
　　张衡算又谓立方为质，立圆为浑。衡言质之与中外之浑：六百七十五尺之面，开方除之，不足一，谓外浑积二十六也；内浑，二十五之面，谓积五尺也。今徽令质言中浑，浑又言质，则二质相与之率犹衡二浑相与之率也。衡盖亦先二质之 率推以言浑之率也。衡又言：“质，六十四之面；浑，二十五之面。”质复言浑，谓居质八分之五也。又云：方，八之面；圆，五之面。”圆浑相推，知其复以圆囷为方率，浑为圆率也，失之远矣。衡说之自然欲协其陰陽奇偶之说而不顾疏密矣。虽有文辞，斯乱道破义，病也。置外质积二十六，以九乘之，十六而一，得积十四尺八分尺之五，即质中之浑也。以分母乘全内子，得一百一十七。又置内质积五，以分母乘之，得四十，是谓质居浑一百一十七分之四十，而浑率犹为伤多也。假令方二尺，方四面，并得八尺也，谓之方周。其中令圆径与方等，亦二尺也。圆半径以乘圆周之半，即圆幂也。半方以乘方周之半，即方幂也。然则方周知，方幂之率也；圆周知，圆幂之率也。按：如衡术，方周率八之面，圆周率五之面也。令方周六十四尺之面，圆周四十尺之面也。又令径二尺自乘，得径四尺之面，是为圆周率十之面，而径率一之面也。衡亦以周三径一之率为非，是故更著此法，然增周太多，过其实矣。
　　淳风等按：祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率，丸为圆率，乃设新法。祖暅之开立圆术曰：“以二乘积，开立方除之，即立圆径。其意何也？取立方棋一枚，令立枢于左后之下隅，从规去其右上之廉；又合而衡规之，去其前上之廉。于是立方之棋分而为四，规内棋一，谓之内棋；规外棋三，谓之外棋。
　　规更合四棋，复横断之。以句股言之，令余高为句，内棋断上方为股，本方之数，其弦也。句股之法：以句幂减弦幂，则余为股幂。若令余高自乘，减本方之幂，余即内棋断上方之幂也。本方之幂即此四棋之断上幂。然则余高自乘，即外三棋 之断上幂矣。不问高卑，势皆然也。然固有所归同而途殊者尔。而乃控远以演类，借况以析微。按：陽马方高数参等者，倒而立之，横截去上，则高自乘与断上幂数亦等焉。夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。由此观之，规之外三棋旁 蹙为一，即一陽马也。三分立方，则陽马居一，内棋居二可知矣。合八小方成一 大方，合八内棋成一合盖。内棋居小方三分之二，则合盖居立方亦三分之二，较然验矣。置三分之二，以圆幂率三乘之，如方幂率四而一，约而定之，以为丸率。
　　故曰丸居立方二分之一也。”等数既密，心亦昭晢。张衡放旧，贻哂于后，刘徽循故，未暇校新。夫岂难哉，抑未之思也。依密率，此立圆积，本以圆径再自乘，十一乘之，二十一而一，得此积。今欲求其本积，故以二十一乘之，十一而一。
　　凡物再自乘，开立方除之，复其本数。故立方除之，即丸径也。〕

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